Pokračujeme v díle těch,
kteří byli první.

Aktuální vydání

Číslo 12/2016 vyšlo tiskem
7. 12. 2016. V elektronické verzi na webu od 6. 1. 2017. 

Téma: Měření, měřicí přístroje a měřicí technika; Zkušebnictví a diagnostika

Hlavní článek
Lithiové trakční akumulátory pro elektromobilitu (2. část – dokončení)

Aktuality

Svítící fasáda FEL ČVUT nabídne veřejnosti interaktivní program s názvem Creative Colours of FEL Dne 13. prosince v 16.30 hodin se v pražských Dejvicích veřejnosti představí interaktivní…

Fakulta elektrotechnická je na špici excelentního výzkumu na ČVUT Expertní panely Rady vlády pro výzkum, vývoj, inovace (RVVI) vybraly ve II. pilíři…

Švýcaři v referendu odmítli uzavřít jaderné elektrárny dříve V referendu hlasovalo 45 procent obyvatel, z toho 54,2 procent voličů řeklo návrhu na…

Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. 11. 2016 den otevřených dveří Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. listopadu od 8.30 hodin Den otevřených…

Calliope mini – multifunkční deska Calliope mini poskytuje kreativní možnosti pro každého. A nezáleží na tom, zda jde o…

Ocenění v soutěži České hlavičky získal za elektromagnetický urychlovač student FEL ČVUT Student programu Elektronika a komunikace Fakulty elektrotechnické ČVUT v Praze Vojtěch…

Více aktualit

Teplotní závislost odporu kovových vodičů

z německého originálu časopisu de, 6/2007, vydavatelství Hüthig & Pflaum Verlag GmbH München,
upravil Ing. Josef Košťál, redakce Elektro
 
Tento příspěvek se zabývá teplotní závislostí elektrického odporu kovových vodičů. Popisuje rovnici, s jejíž pomocí lze vypočítat odpor při oteplení nebo ochlazení vodiče, tj. při jiné teplotě než 20 °C. V této souvislosti jsou zde také blíže vysvětleny pojmy teplotní součinitel a teplotní parametr.
 
Existují odporové součástky, jejichž elektrický odpor je značně závislý na teplotě:
  • u termistorů se záporným teplotním součinitelem (NTC – Negative Temperature Coefficient) elektrický odpor s rostoucí teplotou klesá,
  • u termistorů s kladným teplotním součinitelem (PTC – Positive Temperature Coefficient) elektrický odpor s rostoucí teplotou vzrůstá.
Teplotní závislost bude vysvětlena na jednoduchých příkladech s měděnými vodiči. Na základě výsledků mnoha uskutečněných pokusů a měření lze konstatovat, že se elektrický odpor kovů v určité teplotní oblasti chová přibližně lineárně. Tato teplotní oblast je zpravidla natolik velká (např. u zlata, stříbra a mědi je to –200 až +600 °C, u hliníku to –200 až +300 °C), že lze použitím lineární funkce pokrýt téměř všechny případy použití z praxe.
 
Pro obecnou teplotu Jve stupních celsia (°C) platí:
 
(1)
 
kde R20 je odpor při teplotě 20 °C, RJ odpor při teplotě J, α20 teplotní součinitel.
 
Teplotní součinitel α20 udává relativní změnu odporu při změně teploty o jeden stupeň Celsia (Kelvina) – u mědi je to asi 0,4 % na 1 °C (viz tabulka).
 

Výpočet odporu při zvýšení teploty

Na příkladech bude dále objasněn vliv zvýšení teploty okolí na odpor měděného vodiče.
 
Příklad 1
Je znám odpor měděného vodiče při pokojové teplotě (J20 = 20 °C) R20 = 10 Ω. Jaký bude odpor tohoto vodiče při teplotě okolí J= 80 °C?
 
Hledá se tedy obecně odpor Rϑ, tj. v tomto případě R80. K jeho výpočtu se použije jednak tabulka pro určení teplotního součinitele α20 mědi, jednak rovnice (1):
 
teplotní součinitel mědi (viz tabulka):
α20 = 3,92·10–3 (K–1)
 
odpor při zvýšené teplotě podle (1):
Rϑ = R20[1 +α20 (JJ20)]
R80 = 10[1 + 3,92·10–3(80 – 20)]
R80 = 12,352 Ω
 
Odpor měděného vodiče se oproti původní hodnotě zvýšil na 12,352 Ω, tj. téměř o 24 % (obr. 2).
 
Příklad 2
Je znám odpor měděného vinutí transformátoru při pokojové teplotě (J20 = 20 °C) R20 = 6,8 Ω. Jaký bude odpor tohoto vinutí, ohřeje-li se v provozu na teplotu J= 100 °C?
 
teplotní součinitel mědi (viz tabulka):
α20 = 3,92·10–3 (K–1)
 
odpor při zvýšené teplotě podle (1):
Rϑ = R20[1 + α20 (JJ20)]
R80 = 6,8[1 + 3,92·10–3(80 – 20)]
R80 = 8,932 Ω
 
Odpor měděného vinutí transformátoru se oproti původní hodnotě zvýšil na 8,932 Ω, tj. přibližně 31,4 %.
 
Vliv zvýšené teploty na odpor kovových vodičů není, jak vyplývá z uvedených příkladů, v žádném případě zanedbatelný.
 
Pro ztrátový výkon Pz ohmického odporu R platí:
 
Pz = I2R (2)
 
Ztrátový výkon Pz je podle (2) za předpokladu konstantního proudu přímo úměrný velikosti odporu R. To znamená, že s rostoucí hodnotou odporu rostou také ztráty. Vzroste-li tedy odpor podle příkladu 2 o 31,4 %, zvýší se také ztráty o 31,4 %, a tím se sníží účinnost transformátoru.
 

Výpočet odporu při pokojové teplotě

Nyní je znám odpor při určité zvýšené teplotě Ja je třeba vypočítat odpor při pokojové teplotě J20 = 20 °C. Na příkladu 3 bude objasněn postup tohoto výpočtu.
 
Příklad 3
Nechť odpor měděného vodiče při teplotě J= 75 °C je R75 = 1,8 Ω. Jaký bude odpor tohoto vodiče při teplotě okolí J20 = 20 °C? Hledá se tedy odpor R20.
 
teplotní součinitel mědi (viz tabulka):
α20 = 3,92·10–3 (K–1)
 
Úpravou rovnice (1) lze obdržet tvar:
 
(3)
 
Odpor tohoto měděného vodiče při 20 °C je asi o 17, 78 % menší než při 75 °C.
 

Výpočet při neznámém odporu R20– teplotní parametr

V tomto případě je třeba vypočítat obecný odpor kovového vodiče Rϑpři libovolné teplotě, není-li znám jeho odpor při teplotě 20 °C (J20), nýbrž jen při tzv. výchozí teplotě Jv. Rovnice (1) bude mít po dosazení tento tvar:
 
Rv = R20 [1 + α20(Jv J20)] (4)
 
Při řešení této úlohy se použije matematická úprava, při které se do vzájemného poměru dají levé a pravé strany rovnice (1) a (4):
 
(5)
 
Z toho po vykrácení rovnice (5) R20 a vynásobení obou stran Rv bude:
 
(6)
 
Dále se čitatel i jmenovatel pravé strany rovnice (6) rozšíří převráceným teplotním součinitelem 1/α20:
 
(7)
 
Nyní se zavede substituce:
 
(8)
 
kde τ je teplotní parametr.
 
Po dosazení rovnice (8) do (7):
 
(9)
 
kde RJje hledaná hodnota odporu při teplotě J, Rv známý odpor při výchozí teplotě, τ teplotní parametr.
 
Po dosazení do (8) má teplotní parametr mědi hodnotu:
 
(10)
 
Příklad 4
V zimě byl na měděném vinutí elektromotoru naměřen při Jv= –10 °C odpor Rv = 2,6 Ω. Jak velký bude odpor tohoto vinutí v letním provozu při teplotě J= 90 °C, tj. R90, není-li znám jeho odpor při 20 °C?
 
Dosazením do (9):
 
τ = 235 K
 
Odpor měděného vinutí elektromotoru při teplotě 90 °C vzrostl na 3,76 Ω, tj. o 44,6 %.
 

Změna odporu jako míra pro změnu teploty

Rovnici (9) lze upravit tak, aby bylo možné ze změny odporu vyvozovat změnu teploty. To umožní snadno stanovit střední hodnotu teploty vinutí elektromechanického měniče nebo jiného přístroje. Rovnice (9) se matematicky upraví na:
 
(11)
 
Je-Rli známa výchozí teplota Jv a odpor při této výchozí teplotě Rv, je možné na základě změřené hodnoty odporu Rϑ(např. po určité době odstávky přístroje, kdy se projeví vliv teploty okolí) vypočítat po dosazení do rovnice (11) teplotu J.
 
 
Příklad 5
Nechť má asynchronní motor před začátkem provozu při teplotě Jv = 18 °C odpor měděného statorového vinutí Rv = 0,38 Ω. Po určité době provozu se zátěží byl naměřen odpor tohoto vinutí Rϑ= 0,51 Ω. Jaká bude střední teplota vinutí J?
 
K jejímu výpočtu se použije rovnice (11):
 
J= 104,6 °C
 
Vypočítaná teplota Jvychází vždy ve stupních Celsia. Představuje střední hodnotu, neboť teplota vinutí není všude stejná a na vinutí se tvoří tzv. horké body – tj. místa, kde teplota přesahuje vypočítanou střední hodnotu. Tato skutečnost je známa především ze zkušenosti a z výsledků jiných měření (např. termistorů ve vinutí). V každém případě však takto vypočítaná hodnota teploty Jpředstavuje pro provozovatele důležitý poznatek o tepelném chování kovových vodičů za různých provozních situací a často je používána i ve zkušebnách.
 
Obr. 1. Ilustrační foto
Obr. 2. Graf závislosti elektrického odporu měděného vodiče z příkladu 1
 
Tabulka konstant některých kovových vodičů