Pokračujeme v díle těch,
kteří byli první.

Aktuální vydání

Číslo 12/2016 vyšlo tiskem
7. 12. 2016. V elektronické verzi na webu od 6. 1. 2017. 

Téma: Měření, měřicí přístroje a měřicí technika; Zkušebnictví a diagnostika

Hlavní článek
Lithiové trakční akumulátory pro elektromobilitu (2. část – dokončení)

Aktuality

Svítící fasáda FEL ČVUT nabídne veřejnosti interaktivní program s názvem Creative Colours of FEL Dne 13. prosince v 16.30 hodin se v pražských Dejvicích veřejnosti představí interaktivní…

Fakulta elektrotechnická je na špici excelentního výzkumu na ČVUT Expertní panely Rady vlády pro výzkum, vývoj, inovace (RVVI) vybraly ve II. pilíři…

Švýcaři v referendu odmítli uzavřít jaderné elektrárny dříve V referendu hlasovalo 45 procent obyvatel, z toho 54,2 procent voličů řeklo návrhu na…

Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. 11. 2016 den otevřených dveří Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. listopadu od 8.30 hodin Den otevřených…

Calliope mini – multifunkční deska Calliope mini poskytuje kreativní možnosti pro každého. A nezáleží na tom, zda jde o…

Ocenění v soutěži České hlavičky získal za elektromagnetický urychlovač student FEL ČVUT Student programu Elektronika a komunikace Fakulty elektrotechnické ČVUT v Praze Vojtěch…

Více aktualit

O jednom starém mýtu v elektromagnetismu aneb jak (ne)počítat solenoidy s feromagnetickým jádrem

Ing. Jan Růžička,
konzultant v oblasti projektování, Ústí nad Labem
 
V každé středoškolské učebnici fyziky nebo základů elektrotechniky se lze dozvědět, jak vypočítat intenzitu a indukci magnetického pole uprostřed válcové cívky – solenoidu. Pro velmi dlouhý (nebo spíše velmi štíhlý) solenoid bez jádra platí:
 
H = (n·I)/l     (A·m–1; –, A, m)     (1a)
 
B = µ0H = µ0 (n·I)/l     (T; H·m–1, A·m–1)     (1b)
 
kde H je budicí intenzita, n celkový počet těsně vinutých závitů jednovrstvého vinutí, I ustálený stejnosměrný proud ve vinutí, l délka solenoidu nebo jeho jádra, B indukce v těžišti solenoidu, μ0 permeabilita vakua (4π10–7 H·m–1).
 
Jako podmínka použitelnosti se obvykle uvádí (bez bližší kvantifikace) splnění ostré nerovnosti:
 
d<<l     (2)
 
kde d je vnitřní průměr vinutí nebo vnější průměr jádra.
 
Pro případ nesplnění nerovnosti (2) byly odvozeny obecnější vztahy (viz např. str. 217 v [2]). Vztahy (1) platí i pro toroid (prstencovou cívku) bez jádra za předpokladu, že délka l je délkou obvodu jeho střednice. Dále je popsáno, jak se změní poměry u těchto dvou základních druhů cívek v případě, že jejich vnitřní prostor je vyplněn jádrem z feromagnetického materiálu. U toroidu platí i pro tento případ vztah pro intenzitu podle (1a) a indukci pro tuto hodnotu odečteme přímo z magnetizační křivky materiálu jádra nebo vypočteme ze vztahu:
 
B = µ0µrH = µ0µr (n·I)/l     (T)     (3)
 
kde μr je relativní permeabilita jádra v případě, že je známa místo magnetizační křivky závislost relativní permeability na budicí intenzitě.
 
Zde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem. Pro velmi štíhlý solenoid s feromagnetickým jádrem platí rovněž vztah (3) a příslušný komentář. Na tomto místě je vhodné definovat a kvantifikovat zmiňovaný pojem štíhlost. Pro účely tohoto článku se štíhlostí solenoidu rozumí poměr délky a průměru jeho jádra.
 
Pro štíhlost platí:
 
p = l/d     (4)
 
Dlouho nezodpovězenou otázkou bylo, jak počítat solenoid s feromagnetickým jádrem s konečnou reálnou štíhlostí.
 

Zrod mýtu

Mnoho autorů odborných knih (i vysokoškolských učebnic) se domnívalo, že v těchto případech lze s přijatelnou přesností pokračovat v analogii s toroidní cívkou. To znamenalo, že postup výpočtu byl opět podle vztahu (3) s tím, že za délku se dosadí přímo délka jádra. Domnívali se, že chyba ve výsledku bude i při běžných štíhlostech (přibližně p = 5) malá, analogicky, jako tomu je u solenoidů bez jádra.
 
Znění mýtu bychom mohli zformulovat zhruba takto:
 
Indukce uprostřed feromagnetického jádra solenoidu závisí především na permeabilitě jeho materiálu, a vůbec ne nebo v zanedbatelné míře na jeho štíhlosti.
 
Přestože se takovýto postup prezentuje v řadě středoškolských i vysokoškolských učebnic (viz numerické příklady např. v [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]), je třeba ho jednoznačně a kategoricky odmítnout jako principiálně nesprávný, hrubě zkreslující fyzikální podstatu problému a v praxi nepoužitelný!
 

Rozbor pochybení – důsledky

V čem spočívá zmiňovaná principiální nesprávnost a proč nelze v analogii pokračovat? Je to v tom, že na rozdíl od toroidu, kde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem, u solenoidu nikoliv! Zde indukční čára kromě průchodu jádrem prochází ještě okolním prostředím – vzduchem. Ten klade magnetickému toku značný odpor, který nelze v reálném případě zanedbat a do výpočtu nezahrnout. Jde o podobný prohřešek jako zanedbat při výpočtu toroidu s úzkou mezerou tuto mezeru.
 
Důsledky na přesnost výpočtu (dá-li se ještě o nějaké hovořit) jsou fatální. Odchylky takto vypočítaných hodnot indukce od reálných (naměřených) jsou nesmírné. Např. u solenoidu s jádrem z měkké uhlíkaté oceli a s p = 5 činí tato odchylka asi jeden řád! Vypočtená hodnota indukce je tak asi desetkrát větší než naměřená! Do přímo obludných rozměrů vzroste nesoulad výpočtu s realitou, použijeme- li tuto indukci pro výpočet mechanické síly, např. nosnosti tyčového magnetu. Protože zde indukce vystupuje v druhé mocnině, získáme takto sílu, která je ve výše uvedeném případě asi stokrát větší než skutečná (viz př. 4.6.2 v [7] a [9]). I když se tento chybný postup ještě v současnosti prezentuje v odborných středoškolských učebnicích základů elektrotechniky (viz [7], [8]), je zjevné a experimentálně doložitelné, že takto „počítat“ nelze. Kromě výše uvedených přímých dopadů na výpočet indukce má tento nesprávný postup ještě následný dopad i na výpočet další velmi důležité veličiny – vlastní indukčnosti tohoto případu. I při těchto výpočtech se v učebnici [7] používá tento nesprávný postup.
 

Jak počítat správně?

Především je nutné si uvědomit, že budicí intenzita podle (1a) se zde neuplatňuje v plné hodnotě, ale je zmenšena o tzv. demagnetizační intenzitu Hd, která zahrnuje magnetický odpor okolního prostoru. Tak se získá nová výsledná intenzita, tzv. interní (vnitřní) intenzita Hi. Pro tuto intenzitu v jádru potom platí:
 
Hi = H Hd     (5)
 
Pro tuto intenzitu lze z magnetizační křivky jádra odečíst příslušnou indukci B. Veličina Hd je funkcí permeability a štíhlosti jádra. Další podrobný postup výpočtu, včetně numerických příkladů, lze nalézt v [1]. Zejména zde uvedený grafický způsob je velmi názorný, a mohou ho proto snadno zvládnout i středoškolští studenti. Článek je k dispozici i v elektronické formě na webu časopisu Elektro 5/2006.
 

Historické souvislosti – závěry

Historie tohoto mýtu je dlouhá a pozoruhodná. Je známo, že problematikou interakce vnějšího magnetického pole a vybuzeného pole ve feromagnetiku se zabýval již Maxwell ve svém slavném pojednání [12]. Analyticky vyřešil případ rotačního elipsoidu v homogenním magnetickém poli. Odvodil vztah pro demagnetizační faktor, veličiny nezbytné pro výpočet Hd. Pro průmyslové použití však bylo potřebnější znát demagnetizační faktor pro válcový tvar jádra. Analytické řešení nebylo možné, a proto se je mnoho badatelů pokoušelo stanovit na základě měření uskutečněných na vzorcích v laboratoři. První použitelné výsledky v tabelární a grafické formě byly publikovány ve dvacátých letech minulého století (viz [11] str. 47) a poslední asi v jeho polovině. Velmi dobře je tato problematika souhrnně popsaná v [10]. Proto je těžko pochopitelné, proč v době vydání výše kritizovaných učebnic, kdy podklady pro správný výpočet již byly k dispozici, došlo k tak velké jejich dezinterpretaci.
 
Nabízí se otázka, zda, resp. za jakých podmínek lze reálný solenoid s feromagnetickým jádrem počítat kritizovaným způsobem nebo co je vlastně „velmi dlouhý“ (nebo velmi štíhlý) solenoid?
 
Přesná odpověď není snadná a přesahuje rámec tohoto článku. Orientačně však lze říci, že při obvyklých budicích intenzitách (asi H < 10 000 A·m–1) a při jádru z měkké uhlíkaté oceli a s přípustnou chybou hodnoty B uprostřed jádra pod 10 % musí být jeho štíhlost p > 500! V tomto případě se však charakter jádra mění z tyče na drát. Takové „cívky“ se však nepoužívají.
 
U malých štíhlostí je vliv permeability na výsledek zanedbatelný a určuje ho kromě budicí intenzity H pouze geometrie případu, tj. štíhlost p. Docházíme tak k obdobnému závěru jako u toroidu s mezerou, kde výsledek obvykle určuje převážně velikost mezery.
 

Jak skoncovat s mýtem?

Ke skoncování s mýtem je především nutné ho přestat šířit v tištěné podobě v učebnicích i v mluvené, při výuce na školách.
  • V nových učebnicích je třeba zdůrazňovat, že solenoid s feromagnetickým jádrem představuje zcela (naprosto) otevřený magnetický obvod a jako s takovým je nutné s ním ve výpočtech zacházet.
  • Zdůraznit zejména dominantní vliv štíhlosti na výsledky.
  • Z učebnic neprodleně odstranit všechny numerické příklady a úlohy, jejichž výsledky se diametrálně odlišují od výsledků měření a jsou ve své podstatě zavádějící. Pouze tak lze zabránit případné deziluzi zvídavějších studentů, kteří takovou cívku proměří a zjistí hrubý (i řádový) nesoulad s výpočtem podle učebnice.
Literatura:
[1] RŮŽIČKA J.: Umíme správně spočítat solenoid s jádrem? Elektro, 5/2006.
[2] SEDLÁK – ŠTOLL: Elektřina a magnetismus. Academia, 2002.
[3] FUKA – HAVELKA: Elektřina a magnetismus. SNP, 1965.
[4] FETTER: Přehled silnoproudé elektrotechniky. SNTL, 1957.
[5] MELUZÍN: Příklady a úlohy z elektrotechniky. Alfa, 1974.
[6] HAJACH a kol.: Základy elektrotechniky I. SNTL, 1985.
[7] BLAHOVEC: Elektrotechnika III. Informatorium, 2005.
[8] BLAHOVEC: Elektrotechnika I. Informatorium, 2005.
[9] BLAHOVEC: Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách. SNTL, 1989.
[10] REINBOTH: Vlastnosti a použití magnetických materiálů. SNTL, 1975.
[11] BROŽ: Základy magnetických měření. Nakladatelství ČSAV, 1953.
[12] MAXWELL: A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford Press, 1873.
 
Obr. 1. Principiální schéma solenoidu
Obr. 2. Válcové feromagnetické jádro solenoidu