Pokračujeme v díle těch,
kteří byli první.

Aktuální vydání

Číslo 3/2017 vyšlo
tiskem 15. 3. 2017. V elektronické verzi na webu bude ihned. 

Téma: Amper 2017 – 25. mezinárodní elektrotechnický veletrh

Hlavní článek
Problémy elektromobility

Aktuality

Současné možnosti elektromobility představí AMPER Motion 2017 Největší přehlídka elektromobility v ČR proběhne 21.- 24. 3. na brněnském výstavišti a…

Startuje 9. ročník největší tuzemské ekologické soutěže Odstartoval již 9. ročník největší tuzemské ekologické soutěže E.ON Energy Globe.…

V distribuční soustavě (DS) ČEZ Distribuce, a. s. je vyhlášen kalamitní stav Od 9 h dne 24.2.2017 je vyhlášen kalamitní stav v Karlovarském kraji - okres Karlovy Vary…

Veletrh Věda Výzkum Inovace 2017 zahájí místopředseda vlády Pavel Bělobrádek Letošní ročník Veletrhu Věda Výzkum Inovace zahájí na brněnském výstavišti 28. února 2017…

Chytré lampy PRE potvrdily zhoršenou smogovou situaci v Praze Chytré lampy PRE potvrdily v rámci svého pilotního provozu, že v Holešovicích a…

Jak se bydlí v pasivních domech, řeknou jejich majitelé na veletrhu FOR PASIV Další ročník veletrhu FOR PASIV, který je zaměřený na projektování a výstavbu…

Více aktualit

O jednom starém mýtu v elektromagnetismu aneb jak (ne)počítat solenoidy s feromagnetickým jádrem

Ing. Jan Růžička,
konzultant v oblasti projektování, Ústí nad Labem
 
V každé středoškolské učebnici fyziky nebo základů elektrotechniky se lze dozvědět, jak vypočítat intenzitu a indukci magnetického pole uprostřed válcové cívky – solenoidu. Pro velmi dlouhý (nebo spíše velmi štíhlý) solenoid bez jádra platí:
 
H = (n·I)/l     (A·m–1; –, A, m)     (1a)
 
B = µ0H = µ0 (n·I)/l     (T; H·m–1, A·m–1)     (1b)
 
kde H je budicí intenzita, n celkový počet těsně vinutých závitů jednovrstvého vinutí, I ustálený stejnosměrný proud ve vinutí, l délka solenoidu nebo jeho jádra, B indukce v těžišti solenoidu, μ0 permeabilita vakua (4π10–7 H·m–1).
 
Jako podmínka použitelnosti se obvykle uvádí (bez bližší kvantifikace) splnění ostré nerovnosti:
 
d<<l     (2)
 
kde d je vnitřní průměr vinutí nebo vnější průměr jádra.
 
Pro případ nesplnění nerovnosti (2) byly odvozeny obecnější vztahy (viz např. str. 217 v [2]). Vztahy (1) platí i pro toroid (prstencovou cívku) bez jádra za předpokladu, že délka l je délkou obvodu jeho střednice. Dále je popsáno, jak se změní poměry u těchto dvou základních druhů cívek v případě, že jejich vnitřní prostor je vyplněn jádrem z feromagnetického materiálu. U toroidu platí i pro tento případ vztah pro intenzitu podle (1a) a indukci pro tuto hodnotu odečteme přímo z magnetizační křivky materiálu jádra nebo vypočteme ze vztahu:
 
B = µ0µrH = µ0µr (n·I)/l     (T)     (3)
 
kde μr je relativní permeabilita jádra v případě, že je známa místo magnetizační křivky závislost relativní permeability na budicí intenzitě.
 
Zde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem. Pro velmi štíhlý solenoid s feromagnetickým jádrem platí rovněž vztah (3) a příslušný komentář. Na tomto místě je vhodné definovat a kvantifikovat zmiňovaný pojem štíhlost. Pro účely tohoto článku se štíhlostí solenoidu rozumí poměr délky a průměru jeho jádra.
 
Pro štíhlost platí:
 
p = l/d     (4)
 
Dlouho nezodpovězenou otázkou bylo, jak počítat solenoid s feromagnetickým jádrem s konečnou reálnou štíhlostí.
 

Zrod mýtu

Mnoho autorů odborných knih (i vysokoškolských učebnic) se domnívalo, že v těchto případech lze s přijatelnou přesností pokračovat v analogii s toroidní cívkou. To znamenalo, že postup výpočtu byl opět podle vztahu (3) s tím, že za délku se dosadí přímo délka jádra. Domnívali se, že chyba ve výsledku bude i při běžných štíhlostech (přibližně p = 5) malá, analogicky, jako tomu je u solenoidů bez jádra.
 
Znění mýtu bychom mohli zformulovat zhruba takto:
 
Indukce uprostřed feromagnetického jádra solenoidu závisí především na permeabilitě jeho materiálu, a vůbec ne nebo v zanedbatelné míře na jeho štíhlosti.
 
Přestože se takovýto postup prezentuje v řadě středoškolských i vysokoškolských učebnic (viz numerické příklady např. v [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]), je třeba ho jednoznačně a kategoricky odmítnout jako principiálně nesprávný, hrubě zkreslující fyzikální podstatu problému a v praxi nepoužitelný!
 

Rozbor pochybení – důsledky

V čem spočívá zmiňovaná principiální nesprávnost a proč nelze v analogii pokračovat? Je to v tom, že na rozdíl od toroidu, kde celý magnetický tok teče pouze feromagnetickým jádrem, u solenoidu nikoliv! Zde indukční čára kromě průchodu jádrem prochází ještě okolním prostředím – vzduchem. Ten klade magnetickému toku značný odpor, který nelze v reálném případě zanedbat a do výpočtu nezahrnout. Jde o podobný prohřešek jako zanedbat při výpočtu toroidu s úzkou mezerou tuto mezeru.
 
Důsledky na přesnost výpočtu (dá-li se ještě o nějaké hovořit) jsou fatální. Odchylky takto vypočítaných hodnot indukce od reálných (naměřených) jsou nesmírné. Např. u solenoidu s jádrem z měkké uhlíkaté oceli a s p = 5 činí tato odchylka asi jeden řád! Vypočtená hodnota indukce je tak asi desetkrát větší než naměřená! Do přímo obludných rozměrů vzroste nesoulad výpočtu s realitou, použijeme- li tuto indukci pro výpočet mechanické síly, např. nosnosti tyčového magnetu. Protože zde indukce vystupuje v druhé mocnině, získáme takto sílu, která je ve výše uvedeném případě asi stokrát větší než skutečná (viz př. 4.6.2 v [7] a [9]). I když se tento chybný postup ještě v současnosti prezentuje v odborných středoškolských učebnicích základů elektrotechniky (viz [7], [8]), je zjevné a experimentálně doložitelné, že takto „počítat“ nelze. Kromě výše uvedených přímých dopadů na výpočet indukce má tento nesprávný postup ještě následný dopad i na výpočet další velmi důležité veličiny – vlastní indukčnosti tohoto případu. I při těchto výpočtech se v učebnici [7] používá tento nesprávný postup.
 

Jak počítat správně?

Především je nutné si uvědomit, že budicí intenzita podle (1a) se zde neuplatňuje v plné hodnotě, ale je zmenšena o tzv. demagnetizační intenzitu Hd, která zahrnuje magnetický odpor okolního prostoru. Tak se získá nová výsledná intenzita, tzv. interní (vnitřní) intenzita Hi. Pro tuto intenzitu v jádru potom platí:
 
Hi = H Hd     (5)
 
Pro tuto intenzitu lze z magnetizační křivky jádra odečíst příslušnou indukci B. Veličina Hd je funkcí permeability a štíhlosti jádra. Další podrobný postup výpočtu, včetně numerických příkladů, lze nalézt v [1]. Zejména zde uvedený grafický způsob je velmi názorný, a mohou ho proto snadno zvládnout i středoškolští studenti. Článek je k dispozici i v elektronické formě na webu časopisu Elektro 5/2006.
 

Historické souvislosti – závěry

Historie tohoto mýtu je dlouhá a pozoruhodná. Je známo, že problematikou interakce vnějšího magnetického pole a vybuzeného pole ve feromagnetiku se zabýval již Maxwell ve svém slavném pojednání [12]. Analyticky vyřešil případ rotačního elipsoidu v homogenním magnetickém poli. Odvodil vztah pro demagnetizační faktor, veličiny nezbytné pro výpočet Hd. Pro průmyslové použití však bylo potřebnější znát demagnetizační faktor pro válcový tvar jádra. Analytické řešení nebylo možné, a proto se je mnoho badatelů pokoušelo stanovit na základě měření uskutečněných na vzorcích v laboratoři. První použitelné výsledky v tabelární a grafické formě byly publikovány ve dvacátých letech minulého století (viz [11] str. 47) a poslední asi v jeho polovině. Velmi dobře je tato problematika souhrnně popsaná v [10]. Proto je těžko pochopitelné, proč v době vydání výše kritizovaných učebnic, kdy podklady pro správný výpočet již byly k dispozici, došlo k tak velké jejich dezinterpretaci.
 
Nabízí se otázka, zda, resp. za jakých podmínek lze reálný solenoid s feromagnetickým jádrem počítat kritizovaným způsobem nebo co je vlastně „velmi dlouhý“ (nebo velmi štíhlý) solenoid?
 
Přesná odpověď není snadná a přesahuje rámec tohoto článku. Orientačně však lze říci, že při obvyklých budicích intenzitách (asi H < 10 000 A·m–1) a při jádru z měkké uhlíkaté oceli a s přípustnou chybou hodnoty B uprostřed jádra pod 10 % musí být jeho štíhlost p > 500! V tomto případě se však charakter jádra mění z tyče na drát. Takové „cívky“ se však nepoužívají.
 
U malých štíhlostí je vliv permeability na výsledek zanedbatelný a určuje ho kromě budicí intenzity H pouze geometrie případu, tj. štíhlost p. Docházíme tak k obdobnému závěru jako u toroidu s mezerou, kde výsledek obvykle určuje převážně velikost mezery.
 

Jak skoncovat s mýtem?

Ke skoncování s mýtem je především nutné ho přestat šířit v tištěné podobě v učebnicích i v mluvené, při výuce na školách.
  • V nových učebnicích je třeba zdůrazňovat, že solenoid s feromagnetickým jádrem představuje zcela (naprosto) otevřený magnetický obvod a jako s takovým je nutné s ním ve výpočtech zacházet.
  • Zdůraznit zejména dominantní vliv štíhlosti na výsledky.
  • Z učebnic neprodleně odstranit všechny numerické příklady a úlohy, jejichž výsledky se diametrálně odlišují od výsledků měření a jsou ve své podstatě zavádějící. Pouze tak lze zabránit případné deziluzi zvídavějších studentů, kteří takovou cívku proměří a zjistí hrubý (i řádový) nesoulad s výpočtem podle učebnice.
Literatura:
[1] RŮŽIČKA J.: Umíme správně spočítat solenoid s jádrem? Elektro, 5/2006.
[2] SEDLÁK – ŠTOLL: Elektřina a magnetismus. Academia, 2002.
[3] FUKA – HAVELKA: Elektřina a magnetismus. SNP, 1965.
[4] FETTER: Přehled silnoproudé elektrotechniky. SNTL, 1957.
[5] MELUZÍN: Příklady a úlohy z elektrotechniky. Alfa, 1974.
[6] HAJACH a kol.: Základy elektrotechniky I. SNTL, 1985.
[7] BLAHOVEC: Elektrotechnika III. Informatorium, 2005.
[8] BLAHOVEC: Elektrotechnika I. Informatorium, 2005.
[9] BLAHOVEC: Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách. SNTL, 1989.
[10] REINBOTH: Vlastnosti a použití magnetických materiálů. SNTL, 1975.
[11] BROŽ: Základy magnetických měření. Nakladatelství ČSAV, 1953.
[12] MAXWELL: A Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford Press, 1873.
 
Obr. 1. Principiální schéma solenoidu
Obr. 2. Válcové feromagnetické jádro solenoidu