Pokračujeme v díle těch,
kteří byli první.

Aktuální vydání

Číslo 2/2017 vyšlo tiskem
17. 3. 2017. V elektronické verzi na webu bude ihned.

Veletrhy a výstavy
Inspirativní osvětlení ze zahraničních veletrhů 

Příslušenství osvětlovacích soustav
Na osvětlení provozu lze šetřit s minimem investic
Maxos fusion – nový rychlomontážní systém Philips
Inteligentní řešení DALISYS® pro řízení osvětlení

Aktuality

Vše pro stavbu a interiér najdou návštěvníci na březnovém souboru veletrhů Stovky českých i zahraničních společností se představí na největším jarním souboru…

Startuje 9. ročník největší tuzemské ekologické soutěže Odstartoval již 9. ročník největší tuzemské ekologické soutěže E.ON Energy Globe.…

Festival světla BLIK BLIK opět rozsvítí Plzeň Třetí ročník plzeňského festivalu Blik Blik se chystá na pátek 17. a sobotu 18. března.…

Kurz osvětlovací techniky XXXIII – 1. oznámení Česká společnost pro osvětlování, regionální skupina Ostrava, a VŠB – Technická…

Více aktualit

Záhada analemmy – historický základ využívania slnečného svetla

číslo 2/2004

Záhada analemmy – historický základ využívania slnečného svetla

Richard Kittler a Stanislav Darula,
Ústav stavebníctva a architektúry Slovenskej akadémie vied, Bratislava

Keď nám profesor Karel Hannauer roku 1949 v prvom ročníku architektúry a pozemného staviteľstva na bratislavskej technike vysvetľoval v predmete základy architektonickej tvorby, ako sa ľahko graficky určujú dráhy Slnka, netušili sme, o aký starý a podstatný ľudský poznatok ide. Zrejme to nevedel ani prednášateľ, ani jeho učiteľ profesor Vojtech Krch z pražskej ČVUT, ktorý vo svojej uznávanej knihe [1] na strane 42 píše, že „diagram slunečních stínů je nejznámější konstrukcí k určení stínu svislice. Pravděpodobně ho prvně použili Cooper a Julian v r. 1919. Představuje vlastně stíny vrcholu tyče vztyčené v bodě pozorování na vodorovnou rovinu.„ Ako sa len mýlil! Pre spomínanú vertikálnu tyčku mali už v starom Grécku termín „gnómon„ a bola základom slnečných hodín. Vitruvius [2], rímsky teoretik architektúry, popísal v roku 13 pred Kr. ich konštrukciu, ktorú nazval „analemma„, a priznal, že tieto znalosti boli už vtedy veľmi staré, pravdepodobne z chaldejskej, t. j. novobabylonskej éry okolo roku 600 pred Kr. Pravdepodobnejšie však je, že prvý takýto geometrický náčrtok pochádzal z sumerskej ríše, keďže na hlinených tabuľkách z roku 1500 pred Kr. sa zachoval pôdorysný plán mesta Nippur [3, s. 200], a ešte prv okolo roku 2780 pred Kr. [4, s.17] tu existovala tzv. sexagonálna sústava čísiel s delením roka na 360 dní, mesiaca na 30 dní, dňa na 24, resp.12 hodín i delenie kruhu na 360°. Okrem toho iný údaj [4, s.27] hovorí, že okolo roku 2020 pred Kr. sa v Mezopotámii používali slnečné hodiny a v Egypte obelisk ako gnómon.

Obr. 1.

Ten, kto chce pri zostrojovaní slnečných dráh sledovať český preklad Vitruvia [2, s. 310], presne neporozumie výkladu analemmy, pretože na náčrtku a v texte sú pomýlené označenia záchytných bodov. Anglický preklad [5, s.271] je presnejší a tým zrozumiteľný a dá sa dnešku priblížiť aj vysvetlením v [6]. Pretože vo Vitruviovej dobe nebolo možné spoliehať sa na zemepisnú šírku miesta, používal sa gnómon s predpísaným pomerom výšky k dĺžke jeho tieňa v čase rovnodennosti (21. 3. a 23. 9.) v danej lokalite na určenie základnej dráhy Slnka v týchto dňoch. Pre Káhiru alebo Alexandriu to bol pomer 5 : 3 (čiže arctg 3/5 = 30,96° pri presnej zemepisnej šírke Káhiry 30,1° a Alexandrie 30,6°). Podobne by sa dnes mohli zvoliť pomery pre Prahu napr. 5 : 6 (t. j. arctg 6/5 = 50,96° pre zemepisnú šírku 50°), popr. pre Bratislavu by mohol byť približný pomer 8 : 9 (t. j. arctg 9/8 = 48,36° pre zemepisnú šírku 48,17°).

Ak uvážime, že termín „analemma„ čiže náčrtok [7, s.183] použili Diodoros Alexandrijský aj neskôr Klaudios Ptolemaios ako názov publikácie, je možné predpokladať, že išlo o tradovaný nákres deskriptívnej geometrie s konštrukciou slnečných dráh v ortogonálnom priemete na vertikálnu rovinu s orientáciou sever-juh. Súčasne to bol návod na riešenie veľmi praktickej úlohy kalendára a časomiery v podobe slnečných hodín.

Návod Vitruvia sa dá stručne vysvetliť podľa obr. 1. Keď poznáme pomer výšky gnómonu a jeho tieňa v čase rovnodennosti alebo zemepisnú šírku miesta, na fiktívnej oblohe (polguli či hemisfére) sa zdanlivá dráha Slnka 21. 3. javí v priemete ako priamka s vrcholom na obvode meridiánu alebo poludníkového kruhu s postavením Slnka o dvanástej hodine pravého slnečného času. Pretože každý deň sa Zem otočí okolo svojej osi raz za 24 hodín, t. j. o 360°/24 = 15° za hodinu, na sklopenej kružnici celodennej dráhy možno nájsť polohu Slnka v každej hodine. Samozrejme, aj v ročnom cykle sa kruhové dráhy postupne premiestňujú v rámci deklinácie (maximálneho naklonenia zemskej osi o ±23,45°, popr. podľa Vitruvia o 360°/15 = 24°). Tak je možné na tzv. kruhu mesiacov (tzv. menaeus nad rovnobežkou so zemskou osou, ktorá sa volá logotomus) určiť umiestnenie dráhy v ľubovolnom dátume počas celého roka.

Obr. 2.

Dnes si už vieme predstaviť, že v určitej lokalite na zemeguli (napr. v Prahe alebo na druhej strane na Novom Zélande vo Wellingtone, obr. 2) je rovina dráhy Slnka v dni rovnodennosti vždy rovnobežná s rovinou rovníka a os každodennej zemskej rotácie je zrejme rovnobežná s osou zemegule. Netreba zabudnúť, že v ľubovolnom mieste na zemeguli je horizontálna rovina, t. j. horizont tangentou so sklonom kolmým k zemepisnej šírke.

Rozvojom trigonometrie a astronómie v Alexandrii, najmä pričinením Ptolemaia, sa doriešili aj niektoré nedôslednosti konštrukcie analemmy. Ptolemaios objasnil priemety oblohovej hemisféry do troch vzájomne kolmých rovín, takže okrem poludníka dostal pôdorysné eliptické priemety slnečných dráh a tým sa dalo určiť presné postavenie Slnka pomocou jeho uhlovej výšky, resp. zenitnej vzdialenosti a azimutálneho odklonu od juhu v ľubovolnom čase a na hociktorom mieste na Zemi [7, s.183]. Okolo roku 150 po Kr. sa dali zostrojiť ortografické diagramy slnečných dráh, ako boli pre Bratislavu už dávnejšie publikované v [8, s.18] a [9, s.48–51].

Štúdiom vzťahov uhlových rozovretí v rovine a na guli sa Ptolemaiovi asi podarilo určiť zmeny východu a západu Slnka podľa závislosti:

cos (15° Hvs) = tg g tg d, resp.
Hvs = arc cos (tg g tg d)/15°

kde H je číslo hodiny v pravom slnečnom čase, t. j. H = 0 až 24, resp. Hvs je hodina východu Slnka, g geografická šírka lokality, d deklinácia Slnka v danom dni roka.

Obr. 3.

V dnešnom tvare sa však tento vzorec mohol písať až neskôr, keď rannorenezančný duch viedol k objavovaniu starovekých poznatkov. Ten pobádal v roku 1461 do Ríma nemeckého matematika a astronóma Johana Müllera, ktorého neskôr nazvali Regiomontanus. Tu študoval a prekladal Ptolemaiov Almagest, novoskoncipoval trigonometriu ako samostatnú matematickú disciplínu [10, s. 12] a vo svojej knihe o trojuholníkoch zaviedol označovanie funkcie tangens [4, s. 96]. Neskôr v rokoch 1467 až 1471 bol jedným z prvých profesorov na bratislavskej Akadémii Istropolitane, takže až vtedy sa asi mohol začal písať horeuvedený vzorec v súčasnej podobe.

Z podmienky pre východ Slnka, keď uhlová výška Slnka nad horizontom hs je nulová, t. j. sin hs = 0, resp. jeho zenitná vzdialenosť zs je 90° a cos zs = 0, sa dal odvodiť obecný vzťah pre výšku Slnka, pretože

cos g cos d cos (15° H) = sin g sin d
sin hs = cos zs = sin g sin d – cos g cos d cos (15° H)

čo je dnes už tradovaný základný vzorec pre výpočet výšky Slnka v ľubovolnom čase a lokalite [11].

Súbežne so zdokonaľovaním matematických a astronomických poznatkov sa technicky riešilo meranie času. Od slnečných a presýpacích, popr. vodných hodín sa postúpilo k mechanickým, napred so závažím (vynález kňaza Pacificusa z Verony okolo roku 850), až k vreckovým s naťahovacím perom (od norimberského zámočníka P. Henleina z roku 1505). Ich pravidelný chod sa stále spresňoval podobne ako aj merania pravého slnečného času na poludňajšom meridiáne. Známa je Ulug-begova hvezdáreň v Samarkande z roku 1420 so 40metrovým gnómonom, tzv. meridiánové oká alebo drážky s otvormi orientovanými presne na juh a pod.

Terminológia
gnómon zvislá tyč určujúca podľa dĺžky a smeru tieňa uhlovú výšku Slnka
deklinácia Slnka uhol, ktorý zviera slnečný lúč s rovinou rovníka, naklonenie fiktívnej zemskej osi,
výška Slnka uhol, ktorý zviera slnečný lúč s horizontom
zenitná vzdialenosť uhol, ktorý zviera slnečný lúč so zenitom, je doplnkom výšky Slnka
azimut Slnka uhol, ktorý zviera priemet slnečného lúča na horizontálnu rovinu v mieste posudzovania so severným alebo južným smerom
meridián myslená kružnica na fiktívnej oblohe, ktorá spája postavenie Slnka so zenitom
pravý slnečný čas časový údaj, ktorý vyplýva z okamžitej polohy Slnka, pričom počiatok je na pravé poludnie, keď sa Slnko nachádza v najväčšej výške
hodinkový čas časový údaj určený rovnakou hodnotou pre pásmo medzi dvoma poludníkmi, pričom základom je čas v mieste nulového poludníka a každých ďalších 15°
menaios, kružnica mesiacov rovnomerné grafické rozdelenie roku na dvanásť častí
logotomus, priemer kružnice mesiacov priemet rozsahu deklinácií za rok

Namiesto fiktívnej oblohovej hemisféry si teraz treba predstaviť reálnu polguľovú kupolu s meridiánovou drážkou presne v smere juhu s gnómonovým vrcholom v stredovom bode gule. Takáto drážka dovoľuje osvetliť podlahu len prúžkom slnečných lúčov o dvanástej hodine pravého slnečného času, pričom gnómonový vrchol tieňa označí uhol deklinácie (na obr. 3 pre Bratislavu, t. j. pre 48,17° severnej zemepisnej šírky). Podľa tieňa gnómonu sa letná stupnica plusovej deklinácie zužuje a presúva vľavo, kým zimný tieň sa predlžuje s mínusovou deklináciou na pravej strane v obr. 3. Pre určitú deklináciu sa zapisovala podľa hodiniek časová odchýlka a tak sa zistil a upresňoval viacminutový rozdiel medzi pravým slnečným a absolútne pravidelným hodinkovým časom. Obr. 4. Pritom sa tento počas roka menil, no zhodný bol v štyroch dňoch, a to 3. septembra, 25. decembra a 15. apríla a 15. júna. V súčasnosti sa súvislosť slnečného a hodinkového času vyjadruje viacerými tzv. časovými rovnicami [9, s. 37], ktorých premennou najčastejšie býva číslo dňa v roku podobne ako pri definovaní deklinácie [9, s. 27]. Pôvodne sa dávali tieto časové rozdiely do súvisu hlavne s deklináciou a zistilo sa, že graf s údajmi deklinácie na osi x a časovými rozdielmi na osi y vytvára krivku v tvare ležatej osmy (na obr. 4), popr. pri prevrátení súradníc v tvare 8 [12, s. 7]. Táto krivka sa tiež už dávnejšie nazývala analemmou, niekedy analemna či analemnata, a tak tento termín dostal dvojzmyselný význam.

V každom prípade sa pôvodný názov analemma už v staroveku používal ako termín pre deskriptívny náčrtok s ortografickým priemetom slnečných dráh na vertikálnu rovinu poludníka (t. j. v smere sever-juh), pre návrh slnečných hodín s tieňom gnómonu na horizontálnu rovinu. Je zrejmé, že oveľa neskôr sa pôvodný význam strácal s upresňovaním merania času mechanickými hodinkami a v prenesenom význame sa použil pre názov krivky, ktorá definuje závislosť medzi pravým slnečným a hodinkovým časom v ročnom cykle. Takúto súvislosť propaguje aj súčasná americká Spoločnosť analemma (http://www.analemma.org).

Spätný pohľad do minulosti nás stále presviedča o obrovskom potenciáli poznatkov o javoch v prírode, ktorý mali naši predkovia. Bez možností výpočtovej techniky len trpezlivou a systematickou prácou s primitívnymi prostriedkami dospeli k záverom, ktoré často znovu objavujeme. Zanechali nám vzácny odkaz a nemalo by sa zabúdať, že spoliehanie sa na rozum a ľudskú múdrosť je efektívnejšie ako zdanlivo dokonalé automatizovanie myšlienkových pochodov. Ukazuje sa, že každý pohľad do minulosti je obohatením budúcnosti.

Poďakovanie
Tento príspevok vznikol vďaka podpore Slovenskej grantovej agentúry VEGA v projekte 2/2067/23.

Literatúra:

[1] KRCH, V.: Oslunění budov a vnitřků. Techn. vědecké vyd., Praha, 1952.

[2] VITRUVIUS, M. P.: Deset knih o architektuře. (Český preklad A. Otoupalík). Vyd. Svoboda, Praha, 1979.

[3] ZAMAROVSKÝ, V.: Na počiatku bol Sumer. Mladé letá, Bratislava, 1984.

[4] PATURI, F. R.: Kronika techniky. Fortuna Print, Bratislava. 1993.

[5] VITRUVIUS, M. P.: The ten books on architecture. (Anglický preklad M. H. Morgan). Dover Publ. Inc., New York, 1914 a 1960.

[6] KITTLER, R. – DARULA, S.: Analemma the ancient sketch of fictitious sunpath geometry or Sun, time and history of mathematics. Architectural Science Review, 2004 (v tlači).

[7] KOLMAN, A.: Dějiny matematiky v starověku. Akademie, Praha, 1968.

[8] KITTLER, R.: Slnko a svetlo v architektúre. SVTL, Bratislava, 1956.

[9] KITTLER, R. – MIKLER, J.: Základy využívania slnečného žiarenia. Vyd. VEDA, Bratislava, 1986.

[10] ŠALÁT, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Obzor, Bratislava, 1978.

[11] VINNACIA, G.: Il corso del sole in urbanistica ed edilizia. Ed. U. Hoepli, Milano, 1939.

[12] HYKŠ, P. – HRAŠKA, J.: Slnečné žiarenie a budovy. Vyd. Alfa, Bratislava, 1990.