Pokračujeme v díle těch,
kteří byli první.

Aktuální vydání

Číslo 12/2016 vyšlo tiskem
7. 12. 2016. V elektronické verzi na webu od 6. 1. 2017. 

Téma: Měření, měřicí přístroje a měřicí technika; Zkušebnictví a diagnostika

Hlavní článek
Lithiové trakční akumulátory pro elektromobilitu (2. část – dokončení)

Aktuality

Svítící fasáda FEL ČVUT nabídne veřejnosti interaktivní program s názvem Creative Colours of FEL Dne 13. prosince v 16.30 hodin se v pražských Dejvicích veřejnosti představí interaktivní…

Fakulta elektrotechnická je na špici excelentního výzkumu na ČVUT Expertní panely Rady vlády pro výzkum, vývoj, inovace (RVVI) vybraly ve II. pilíři…

Švýcaři v referendu odmítli uzavřít jaderné elektrárny dříve V referendu hlasovalo 45 procent obyvatel, z toho 54,2 procent voličů řeklo návrhu na…

Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. 11. 2016 den otevřených dveří Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze pořádá 25. listopadu od 8.30 hodin Den otevřených…

Calliope mini – multifunkční deska Calliope mini poskytuje kreativní možnosti pro každého. A nezáleží na tom, zda jde o…

Ocenění v soutěži České hlavičky získal za elektromagnetický urychlovač student FEL ČVUT Student programu Elektronika a komunikace Fakulty elektrotechnické ČVUT v Praze Vojtěch…

Více aktualit

Silové působení vodičů v drážkách na jejich izolaci

prof. Jiří Pavelka, DrSc.,
ČVUT Praha, Fakulta elektrotechnická
 

Úvod

Nedávno mi byla položena otázka: Proč se neprovádí kontrola izolace vinutí v drážkách elektrických strojů na otlačení? Přiznávám, že jsem okamžitě na takovou otázku neuměl konkrétně odpovědět. Vzpomněl jsem si pouze na to, že ještě jako výpočtář elektrických strojů v ČKD Elektrotechnika jsem slyšel, že tyto síly jsou zanedbatelné a vysvětlení proč se najde v učebnici [1]. Nedalo mi to a celý problém jsem si důkladně nastudoval. Myslím, že výsledek může být pro mnohé zajímavý a poučný, a proto jsem ho zpracoval do tohoto článku.
 

Určení tlaku na izolaci vinutí z rozměrů elektrického stroje

Elektrický točivý stroj je vlastně elektromechanický měnič, který přeměňuje elektrický výkon na mechanický (elektromotor) nebo naopak (elektrický generátor). Mechanický moment na jeho hřídeli je výsledkem vzájemného působení elektromagnetických sil mezi statorem a rotorem tohoto měniče. Klasický stejnosměrný stroj má na rotoru a střídavý stroj na statoru vinutí uložené v drážkách magnetického obvodu, kterým protéká magnetický tok. Vinutí je tvořeno vhodně zapojenými vodiči, kterými protéká elektrický proud.
 
Lorenzův zákon o působení síly na vodič v magnetickém poli protékaný elektrickým proudem, říká:
 
F = B·l·i     (1)
 
kde
F (N) síla působící na vodič podle pravidla levé ruky, B (T) magnetická indukce, l (m) délka vodiče, i (A) proud protékající vodičem.
 
Pokud jsou vodiče uloženy v drážkách elektrického stroje, zdálo by se na první pohled zcela logické, že moment motoru na hřídeli je vytvořen silami, kterými působí vodiče v drážkách magnetického obvodu přes svoji izolaci na zuby magnetického obvodu. Izolace musí být tedy namáhána příslušným tlakem, a tím by mělo docházet k jejímu otlačování. Jak veliký je tlak od těchto sil?
 
Nikde jsem přímou odpověď na velikost tohoto tlaku nenašel, a tak jsem si udělal orientační výpočty pro několik konkrétních elektrických strojů, od kterých jsem měl k dispozici nejen jejich štítkové údaje, ale i potřebné údaje o rozměrech stroje, rozměrech drážek a rozměrech vodičů vinutí v drážkách. Při výpočtu jsem vycházel ze jmenovitého momentu stroje na hřídeli, vzdálenosti drážek od osy stroje, počtu drážek magnetického obvodu a rozměrů vodičů v drážce, tedy bez použití veličin ve vztahu (1). S údivem jsem zjistil, že tímto jednoduchým výpočtem vycházejí velice malé tlaky na izolaci vinutí, a to 104 Pa, tj. řádově desetiny technické atmosféry nebo baru. I při zkratu na vinutí, kdy jsou zkratové proudy o jeden řád větší, budou tyto tlaky také o jeden řád větší a nejde tedy o žádná nebezpečná namáhání z hlediska mechanické pevnosti izolace na tlak.
 

Přímé použití Lorenzova zákona pro určení tlaku na izolaci

 
Lorenzův zákon (1) říká, že síla, působící na vodič, je závislá na indukci B v místě vodiče. Jako bývalý výpočtář elektrických strojů vím, že magnetický tok protéká vzduchovou mezerou, kde je indukce Bδ o velikosti kolem 1 T, ale potom téměř celý tento magnetický tok vzduchovou mezerou dále protéká přes zuby magnetického obvodu. Vlastní drážkou s vinutím protéká pouze jeho velmi malá část. Je to způsobeno rozdílnou magnetickou vodivostí materiálu zubu a vzduchu. Jejich poměr se udává jako relativní permeabilita μr. Z toho ale vyplývá, že magnetická indukce v místě vodičů v drážce Bd je přibližně μr krát menší, než je indukce v zubech Bz. Ve všech učebnicích o elektrických strojích (viz např. [2]) se však ze vztahu (1) odvozují vztahy pro výpočet momentu elektrického stroje a vychází se přitom z indukce ve vzduchové mezeře Bδ. Jak je to tedy skutečně?
 
Pro odpověď musíme jít do základů teorie elektromagnetického pole, např. [3], [4]. V ní se pracuje s elektrickými náboji jako samostatnými realitami, které budí elektrické pole, jejichž pohyb v prostoru představuje elektrický proud, a tím je také zdrojem magnetického pole. Elektromagnetické pole pak obráceně působí na náboje tzv. ponderomotorickými silami. V této teorii se mimo jiné odvozuje, že na rozhraní dvou prostředí s různou elektrickou nebo magnetickou vodivostí se ponderomotorické síly snaží vtáhnout do oblasti se silnějším elektrickým nebo magnetickým polem nebo z ní vysunout dielektrika a magnetika, umístěná do elektromagnetického pole. Tyto síly souvisí s vnitřním přerozdělením nábojů a magnetických dipólů ve struktuře těles. Pro magnetické pole platí, že kolmo na rozhraní působící normálová složka této ponderomotorické síly má směr od prostředí s velkou relativní permeabilitou μ1 do prostředí s menší relativní permeabilitou μ2. Tlak od této síly fP je roven:
 
(2)
 
Konkrétní vysvětlení a výpočet velikosti ponderomotorické síly vinutí v drážce elektrického stroje najdeme v českém vydání učebnice [1], kde kapitolu 3-10 Točivý moment stroje a elektromagnetické síly, které jej vytvářejí, zpracoval prof. Hamata. Tato kapitola je v porovnání s ruským originálem [3] podstatně upravena a rozšířena. Já ale zde použiji vysvětlení z [3], které zavádí určité zjednodušení, a tím je pro porozumění snazší.
 
Vlastní vysvětlení je vhodné udělat na případu stejnosměrného stroje, protože u něj jsou poměry nejnázornější. Samozřejmě, že závěry platí i pro ostatní elektrické stroje s vinutím v drážkách magnetického obvodu.
 
Na obr. 1 je zobrazen průběh magnetické indukce v drážce Bd0 v závislosti na hloubce drážky za předpokladu, že vinutím neprotéká proud. Z něj je vidět, že malá indukce Bd0 se směrem do drážky dále rychle zmenšuje.
 
Na obr. 2 je zobrazen průběh magnetické indukce v drážce Bdi v závislosti na hloubce drážky pro případ, že vinutím protéká proud i a magnetický obvod není buzen. Zde je vidět, že malá indukce Bdi se směrem do drážky lineárně zmenšuje a siločáry magnetické indukce mají směr napříč drážkou.
 
Konečně, na obr. 3 je zobrazen směr siločar Bd v drážce pro případ, že magnetický obvod je buzen a vinutím protéká proud i, kde je vidět, že nyní mají siločáry magnetické indukce Bd převažující směr napříč drážkou.
 
Pokud je vzduchová mezera δ mezi vrcholy zubů rotoru a povrchem pólového nástavce malá, lze s dostatečnou přesností předpokládat, že celý budicí magnetický tok bude protékat přes zuby a tok drážkou je proti němu prakticky zanedbatelný. Potom Bδ = Bz0. Magnetomotorické napětí na jednotku délky zubu i drážky musí být stejné, a proto pro magnetickou indukci v zubu rotoru Bz0 platí (viz obr. 4):
 
Bz0 = μ0· μr·H0     (3)
 
a pro magnetickou indukci v drážce Bd0 podobně platí:
 
Bd0 = μ0·H0 = Bz0/μr     (4)
 
Vidíme, že magnetická indukce v drážce Bd0 je μr krát menší, než je magnetická indukce v zubu Bz0. Pro feromagnetické materiály má μr hodnotu 102 až 105.
 
Pokud protéká vodiči v drážce sumární proud i, je magnetická indukce v sousedních zubech BzL, BzP různá, protože intenzita magnetického pole Hi, vytvořená proudem i, má v zubu nalevo od vodiče s proudem i opačný směr než v zubu napravo od vodiče s proudem i. V prvním přiblížení můžeme napsat vztah:
 
i ≈ 2·Hi·Lz     (5)
 
kde Lz je výška zubu. Odtud úpravou dostaneme:
 
Hii/2Lz     (6)
 
Výsledkem je, že v zubu zprava od drážky je intenzita magnetického pole:
 
HP = H0 + Hi
 
a v zubu zleva od drážky je intenzita magnetického pole:
 
HL = HHi     (8)
 
V našem případě na zub s permeabilitou μ1 = μr zprava od drážky s permeabilitou μ2 = 1 bude působit síla FP, kterou určíme s použitím (2):
 
(9)
 
kde l je délka drážky.
 
Podobně na zub zleva od drážky bude působit síla FL v obráceném směru o velikosti:
 
(10)
 
Výsledná síla Fz působící na zuby potom bude:
 
(11)
 
Dosadíme-li do této rovnice za HP a HL z (7) a (8), dostaneme:
 
(12)
 
Konečně, po dosazení z (6) dostaneme výraz pro výslednou sílu Fz:
 
(13)
 
Z výše uvedeného také vyplývá, že síla Fd, která působí bezprostředně na vodič v drážce, je rovna:
 
Fd = μ0·H0·i·l     (14)
 
Celková výsledná síla F potom je:
 
F = Fz + Fd = μ0·(μr – 1 + 1) ·H0·i·l = μ0·μr·H0·i·l =Bδ·i·l     (15)
 
Tento vztah odpovídá běžně používanému výrazu pro výpočet elektromagnetického momentu elektrického stroje.
 

Závěr

Výše provedené odvození dokazuje, že výsledná síla F je sice rovna známému vztahu (15), je však složena ze dvou složek síly, z nichž síla Fd, působící na vlastní vodič v drážce, je pouze 1/μr celkové síly F. Lze tedy zjednodušeně říci, že proud i sice protéká vodiči v drážkách, ale vlastní síla F působí na zuby magnetického obvodu, a to díky ponderomotorické síle.
 
Literatura:
[1] PETROV, G. N.: Elektrické stroje 2, Academia Praha 1982.
[2] BAŠTA, J.: Teorie elektrických strojů. Nakladatelství ČSAV 1957.
[3] VOTRUBA, V. – MUZIKÁŘ, Č.: Teorie elektromagnetického pole. Nakladatelství ČSAV 1955.
[4] HAGUE, B.: The principles of electromagnetism applied to electrical machines. 1929, 1962.
[5] PETROV, G. N.: Elektríčeskije mašíny 2. Eněrgija Moskva 1963.
 
Obr. 1. Indukce v drážce při chodu bez proudu ve vinutí
Obr. 2. Indukce v drážce při chodu bez buzení s proudem ve vinutí
Obr. 3. Indukce v drážce při chodu s buzením a proudem ve vinutí
Obr. 4. Vysvětlení sil působících na vodič v drážce
 

Prof. Ing. Jiří Pavelka, DrSc., je absolventem ČVUT, Fakulty elektrotechnické, specializace elektroenergetika. Převážnou část svého pracovního života, téměř 30 let, strávil v ČKD Elektrotechnika. Zabýval se problematikou elektrických strojů, zejména budicími systémy synchronních strojů, elektrickými pohony a výkonovou elektronikou. V několika posledních letech se věnuje aktivním magnetickým ložiskům a pro tuto problematiku se stal zástupcem České republiky v ISO. V letech 1987 až 1990 působil jako vědecký pracovník v Ústavu pro elektrotechniku ČSAV. V roce 1991 přešel na ČVUT Praha, kde byl roku 1993 jmenován profesorem a v letech 1996 až 2002 vedl katedru elektrických strojů a pohonů na Elektrotechnické fakultě.