ELEKTRO 12/2014 59 repetitorium Základy teoretické elektrotechniky (5. část)Minulý díl byl věnován obvodům v oka-mžiku, kdy dojde k náhlé změně parametrů nebo struktury obvodu. Probrány byly však pouze obvody s přechodnými ději 1. řádu, které obsahovaly jen induktor nebo kapaci-tor. V obvodech se ale vyskytují oba druhy prvků, které jsou schopné akumulovat ener-gii, tedy cívky i kondenzátory.Bude uveden jednoduchý případ, kdy na vě-tev tvořenou sériově spojeným odporem 200 Ω, cívkou 0,5 H a kondenzátorem 5 μF bude při-pojen v okamžiku t = 0 zdroj napětí s kon-stantním napětím U0 = 100 V. Napětí na kon-denzátoru v okamžiku t = 0 je uC(0) = 0. Pod-le 2. Kirchhoffova zákona v čase t ≥ 0 platí: uL + uR + uC = U0. Využitím Ohmova záko-na a vztahů pro okamžité hodnoty, obdržíme: 1 ()(0)0 (1)d d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d d d 2 2 i t C R i t L i **vzorec 3** d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** L Po jejím zderivování dostáváme diferenciální rovnici druhého řádu:1 ()(0)0 d d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d d d 2 2 i t C R i t L i 3**d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** j 200 600j 2 4 1,2 C R R L (2)Při známých fyzikálních počátečních pod-mínkách pro čas t = 0 platí:i(0-) = i(0+) = 0 (obvodem před sepnutím spínače neprochází proud a po sepnutí musí být proud stejný, protože prochází cívkou) a uC(0-) = uC(0+) = 0 (kondenzátor není na-bit a po sepnutí spínače musí být napětí na kondenzátoru totožné).Pro řešení diferenciální rovnici druhé-ho řádu však bude potřebná matematic-ká počáteční podmínka pro derivaci prou-du. Ze 2. Kirchhoffova zákona lze odvodit: uL = U0 – uR – uC. Dosazením vztahů pro okamžité hodnoty vychází:1 ()(0)0 d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d 2 2 i t C R i i **vzorec 3** d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 (3)Pro čas t = 0+ platí:1 ()(0)0 d d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d 2 2 i t C R i t L i **vzorec 3** d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R (4)Po dosazení fyzikálních počátečních pod-mínek platí:1 ()(0)0 d d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d d 2 2 i t C R i t L i **vzorec 3** d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R 7**2 4 R R L (5)Řešíme-li diferenciální rovnici, sestavíme charakteristickou rovnici, která je v tomto případě kvadratická:1 ()(0)0 d d 0 C t i t dt u C Ri t L i **vzorec 2** 1 0 d d d 2 2 i t C R i t L i **vzorec 3** d 0 C d U Ri u t L i **vzorec 4** L U Ri u t i (0 )(0 )(0 )d d 0 C **vzorec 5** 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** j 200 600j 2 2 4 1,2 L C R R L (6)a její kořeny jsou:200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** j 200 600j 2 2 4 1,2 L C R R L **vzorec 8** sin600 A 600 0,5 ()0 e sin t 100 e 200 t L i t U t t **vzorec 9** 5 ms 200 1 2 1 R L **vzorec 10** 10,5ms 600 2π2πT VZOREC 11 C R 4 L (7)Řešení rovnice je potom: **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** j 200 600j 2 2 4 1,2 L C R R L **vzorec 8** sin600 A 600 0,5 ()0 e sin t 100 e 200 t L i t U t t **vzorec 9** 5 ms 200 1 2 1 R L **vzorec 10** 10,5ms 600 2π2πT VZOREC 11 C R 4 L (8)Na obr. 1 jsou zobrazeny proudová ode-zva a napěťové odezvy. Grafy byly vytvořeny pomocí výpočetního systému MATLAB ® [3]. Charakter příslušného řešení ovlivňuje veli-kost parametrů R, L, C. Jestliže jsou koře-ny charakteristické rovnice komplexní, jako v tomto případě, charakter přechodného děje je kmitavý. Všechny veličiny se mění s časem harmonicky s frekvencí kolem své ustále-né hodnoty a jejich amplituda exponenciálně klesá s časovou konstantou :j 200 600j 2 2 4 1,2 L C R R L **vzorec 8** sin600 A 600 0,5 ()0 e sin t 100 e 200 t L i t U t t **vzorec 9** 5 ms 200 1 2 1 R L **vzorec 10** 10,5ms 600 2π2πT VZOREC 11 C R 4 L (9)Během přechodného děje vznikají tedy tlu-mené vlastní kmity s periodou T: **vzorec 7** j 200 600j 2 2 4 1,2 L C R R L **vzorec 8** sin600 A 600 0,5 ()0 e sin t 100 e 200 t L i t U t t **vzorec 9** 5 ms 200 1 2 1 R L **vzorec 10** 10,5ms 600 2π2πT VZOREC 11 C R 4 L (10)V druhém přípa-dě budou uvažová-ny stejné paramet-ry v obvodu, pou-ze odpor se změní na 800 Ω. V tomto případě má charak-teristická rovnice reálné řešení (dva různé reálné koře-ny). Na obr. 2 jsou proudová odezva a napěťové odezvy. Tentokrát je časový průběh veličin nek-mitavý a přechod-ný děj označujeme jako aperiodický. Jestliže by odpor byl roven jednalo by se o tzv. kritický odpor, cha-rakteristická rov-nice by měla dvoj-násobný reálný ko-řen a případ by byl označen jako stav na mezi aperiodi-city. Proudové ode-zvy by byly nekmi-tavé, podobně jako na obr. 2. Přechod do ustáleného stavu by v tomto případě trval nejkratší mož-nou dobu.Literatura:[1] MAYER, D.: Úvod do teorie elektrických obvo-dů. SNTL, Praha, 1981.[2] KOTLAN, J.: Základy teoretické elektrotechni-ky. Západočeská univerzita, Plzeň, 1999.[3] MATLAB ® Humusoft [online]. [cit. 2014-10- -25]. Dostupné z: http://humusoft.cz/(pokračování)Ing. Lenka Šroubová, Ph.D.,Katedra teoretické elektrotechniky, Fakulta elektrotechnická ZČU v Plzni Obr. 1. Kmitavý přechodný děj i (A) t (s)i (A)0,3 0,2 0,1 0,0 –0,1 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uL (V) t (s)uL (V)100 50 0 –50 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uR (V) t (s)i (A)60 40 20 0 –20 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uC (V) t (s)uC (V)150 100 50 0 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 Obr. 2. Aperiodický přechodný děj i (A) t (s)i (A)0,1 0,05 0,0 0 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uL (V) t (s)uL (V)100 50 0 –50 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uR (V) t (s)i (A)80 60 40 20 0 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 uC (V) t (s)uC (V)100 50 0 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 200 0,5 (0 )100 d d 0 L U t i **vzorec 6** 2 1 0 C L R **vzorec 7** 2 2 4 1,2 L C R R L **vzorec 8** 600 0,5 ()0 e sin t 100 L i t U t **vzorec 9** 5 ms 200 1 2 1 R L **vzorec 10** 10,5ms 600 2π2πT VZOREC 11 C R 4 L