62 ELEKTRO 10/2014 repetitorium Základy teoretické elektrotechniky (4. část – 1. díl)Minulé díly se zabývaly elektrickými ob-vody pouze v ustáleném stavu. Tento díl se bude věnovat obvodům v okamžiku, kdy do-jde k náhlé změně parametrů nebo struktury obvodu. Tyto změny jsou časté důsledkem připojení nebo odpojení části obvodu, nasta-nou při poruchách elektrického obvodu při zkratu či přerušení vodiče. Takovému stavu říkáme přechodný děj. Přechodné děje vznikají v obvodech, kte-ré obsahují prvky schopné akumulovat ener-gii elektrického nebo magnetického pole, tedy cívky a kondenzátory – prvky charakterizova-né parametry L a C. Tyto stavy jsou přecho-dem mezi původním ustáleným stavem a no-vým ustáleným stavem, jsou tedy časově ome-zené. Nový ustálený stav nastane po krátkém časovém úseku. V tomto časovém intervalu se odezvy napětí a proudů blíží k hodnotám no-vého ustáleného stavu. V některých případech může nastat změna napětí či proudu skokově, ale obecně nový ustálený stav nenastává oka-mžitě. Fyzikální podstata přechodných jevů je dána tím, že během tohoto děje dochází ke změnám energií elektrického a magnetického pole v jednotlivých místech obvodu. Tyto změ-ny se nemohou dít skokově, protože elektric-ké výkony (derivace energie) mají v reálném elektrickém obvodu konečnou hodnotu. Ener-gie obvodu je funkcí napětí na kondenzátorech a proudů v cívkách obvodu. Tyto veličiny (na-pětí na kondenzátorech a proudy procházející cívkami) určují energetický stav obvodu a na-zývají se stavové veličiny. Stavové veličiny se mění v závislosti na čase vždy spojitě. Ostat-ní veličiny se mohou měnit skokem. Tohoto poznatku využíváme při formulování počá-tečních podmínek pro řešení rovnic obvodu. Nejprve vyšetříme stavové veličiny těsně před změnou v obvodu v čase (t = 0-), zároveň zná-me hodnotu v čase těsně po změně v obvodu (t = 0+). Tyto hodnoty nazýváme fyzikální po-čáteční podmínky. Někdy je potřeba pro vyře-šení rovnic znát i další hodnoty veličin v čase těsně před změnou a těsně po změně v obvo-du. Tyto hodnoty pak určíme z fyzikálních po-čátečních podmínek pomocí Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona a říkáme jim mate-matické počáteční podmínky. Nyní si uvedeme dva jednoduché příklady. Na obr. 1 je obvod se spínačem v ustáleném stavu. Po sepnutí spínače v čase t = 0 nastane přechodný děj, který bude trvat určitý časový interval, a obvod přejde do nového ustálené-ho stavu. Na větev tvořenou sériově spojeným odporem 200 Ω a kondenzátorem 5 μF připo-jíme v okamžiku t = 0 zdroj napětí s konstant-ním napětím U0 = 100 V. Napětí na konden-zátoru v okamžiku t = 0 je uC(0) = 0, tj. fy-zikální počáteční podmínka stavové veličiny.Podle 2. Kirchhoffova zákona v čase t ≥0 platí:uC + uR = U0 (1)Po využití Ohmova zákona:uC + Ri = U0 (2)Dosadíme-li vztah pro okamžitou hodno-tu proudu procházejícího kondenzátorem (viz minulý díl) dostáváme diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty:**vzorec 3** 0 C C d d U t u RC u **vzorec 4** 0 u (t )U **vzorec 5** 0 u (t)Ke U t 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** t (3)Obecné řešení takovéto diferenciální rov-nice je součtem obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení. Partikulární řešení je konstantní a před-stavuje uC v novém ustále-ném stavu. V novém ustá-leném stavu je kondenzátor nabit na napětí zdroje: (4)**vzorec 3** 0 C C d d U t u RC u **vzorec 4** C 0 t )U **vzorec 5** C 0 u (t)Ke U t **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t Řešení diferenciální rov-nice je: (5)**vzorec 3** 0 C C d d U t RC u **vzorec 4** C 0 u (t )U **vzorec 5** 0 t)Ke U t **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** kde je časová konstanta a K integrační konstanta. Časovou konstantu určíme z charakteristické rovnice:1 + RC = 0 (6)odtud: (7)**vzorec 3** 0 C C d d U t u RC u **vzorec 4** C 0 u (t )U 5** C 0 u (t)Ke U t **vzorec 7** RC 1 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U a časová konstanta: (8)**vzorec 3** 0 C C d d U t u RC u **vzorec 4** C 0 u (t )U **vzorec 5** C 0 u (t)Ke U t **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** Konstantu K zjistíme z počáteční podmín-ky. Pro čas t = 0 dosazený do řešení platí: (9)C 0 u (t)Ke U **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t u t U e **vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16** 0 d d Ri U t L i z toho plyne, že K = U0.Po dosazení dostáváme řešení diferenciál-ní rovnice pro t ≥0 s počáteční podmínkou uC(0-) = uC(0+) = 0: (10)**vzorec 5** C 0 u (t)Ke U t **vzorec 7**RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t u t U e **vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16** 0 d Ri U t L i po úpravě (11)vzorec 5** C 0 u (t)Ke U t **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8**RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t u t U e **vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16** 0 d d Ri U t L i a po dosazení zadaných hodnot: (12)C 0 u (t)Ke U **vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t u t U e **vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16** 0 d d Ri U t L i kde = RC = 1 ms je časová konstanta. Prou-dovou odezvu zjistíme ze vztahu: (13)**vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9** 0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t t U e vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16**0 d d Ri U t L i a napětí na odporu z 2. Kirchhoffova záko-na či ze vztahu: (14)**vzorec 7** RC 1 **vzorec 8** RC 1 **vzorec 9**0 0 0 Ke U **vzorec 10** C 0 0 u (t)U e U RC t **vzorec 11** ()(1 )C 0 RC t u t U e **vzorec 12** ()100(1 )0,001 C t u t e **vzorec 13** RC t e R U t i C u C 0 d d **vzorec 14** RC t u Ri U e R 0 **vzorec 16** 0 d d Ri U t L i Na obr. 2 je řešení v podobě grafu.Literatura:MAYER, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL, Praha, 1981.KOTLAN, J.: Základy teoretické elektrotechniky. Západočeská univerzita, Plzeň, 1999.Ing. Lenka Šroubová, Ph. D.,Katedra teoretické elektrotechniky, Fakulta elektrotechnická ZČU v Plzni Obr. 1. Obvod s kondenzátorem Obr. 2. Řešení RC obvodu v podobě grafu t (s) 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 uC (V) 100 50 0 t (s) 0 0,001 0,002 0,003 0,004 t 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 i (A)0,5 0 t (s) 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 UR (V) 100 50 0 uR +