94 ELEKTRO 8-9/2014 repetitorium Základy teoretické elektrotechniky (3. část)Obvod v minulém díle obsahoval pouze rezistory. Obvody jsou ve skutečnosti kom-plikovanější a zde budou zmíněny další pa-sivní prvky, kterými jsou cívky (též induk-tory) a kondenzátory (kapacitory). Cívka je zásobník energie mag-netického pole a charakterizuje ji parametr indukčnost L [H]. Kon-denzátor funguje jako zásobník energie elektrického pole, charak-teristickou veličinou je kapacita C [F]. Nyní budou uvažovány li-neární, časově neproměnné pasivní prvky, tedy L = konst., C = konst. V obvodu, ve kterém jsou zdroje napětí či proudu časově závislé, je nutné pro řešení použít vztahy pro okamžité hodnoty. Příslušné vzta-hy jsou v tab. 1.Matematické řešení integrodi-ferenciálních rovnic, které lze se-stavit např. pomocí přímé aplika-ce Kirchhoffových zákonů, bývá poněkud složité i při použití volně dostupného softwaru.Proto jsou při řešení obvodů s harmonickými zdroji výpočty zjednodušo-vány pomocí tzv. symbolicko-komplexního zobrazení. Princip symbolicko-komplexní me-tody spočívá v tom, že řešení soustavy integro-diferenciálních rovnic pro okamžité hodnoty napětí a proudů bude převedeno na řešení sou-stavy algebraických rovnic s komplexními ko-eficienty pro fázory napětí a proudů. Vyřešené fázory napětí a proudů budou převedeny zpět na hledané časové průběhy napětí a proudů. Symbolicko-komplexní zobrazení lze použít pouze v lineárních obvodech s harmonický-mi průběhy napětí a proudů, a to jen v ustá-leném stavu.V prvním díle seriálu bylo řečeno, že har-monický průběh je takový, kdy se veliči-na v závislosti na čase mění podle funkce sinus nebo cosinus. Harmonickou funkci si lze představit jako bod rotující kolem počát-ku komplexní roviny úhlovou rychlostí . Harmonickou funkci je následně možné zná-zornit jako průmět komplexního čísla s ab-solutní hodnotou Vm a časově proměnným argumentem (t + ) do imaginární osy, tj. Vm sin (t + ), resp. do reálné osy, tj. Vm cos (t + ), kde úhel je fázový posun v čase t = 0. Podrobněji [1], [2].Přímé symbolicko-komplexní zobraze-ní je tedy takové, které harmonický průběh v = Vm sin (t + ), popř. v = Vm cos (t + ), nahradí symbolicko-komplexním vyjádřením Vm ej(t + ), kterému je přiřazen fázor Vm ej . Absolutní hodnota komplexního čísla Vm představuje velikost fázoru maximální hod-noty a argument komplexního čísla je úhel fázoru měřený od kladné poloosy reálných čí-sel. Fázory skalárních veličin v textu jsou ob-vykle značeny podtrženou kurzívou Vm = Vm ej . Je však možné setkat se i s jiným znače-ním. Pro zjednodušení zápisu exponentu je to často symbolika Vm =Vm ej = Vm | .Na příkladu si ukažme přímou aplikaci Kirchhoffových zákonů v obvodu s harmonic-kým zdrojem napětí v ustáleném stavu, kte-rý je na obr. 1. Měly by být stanoveny časo-vé průběhy větvových proudů v elektrickém obvodu s využitím symbolicko-komplexního zobrazení harmonických veličin, tj. u0(t) = = Um sin (t + ) odpovídá fázor U0 = Um ej .Je dáno: R1 = 40 Ω; R2 = 30 Ω; R3 = = 10 Ω; L = 0,1 mH; C = 200 μF; u0(t) = = 10 sin (t + 30°) V, = 2πf ; f = 50 Hz.Časovému průběhu u0(t) = 10 sin (t + + 30°) V odpovídá fázor maximální hodnoty napětí U0 = 10 e j 30° V neboli, zjednodušeně zapsáno, U0 = 10 | 30° V.Pro výpočet napětí na jednotlivých prv-cích bude použit tzv. zobecněný Ohmův zá-kon v symbolicko-komplexním vyjádření: U = Z I, kde Z je komplexní impedance. Komplexní impedanci lze vyjádřit v gonio-metrickém nebo algebraickém tvaru:Z = Z ejψ = R + jX kde reálná část impedance je rezistence R (Ω) a imaginární složka reaktance X (Ω). Pro ideální pasivní prvky jsou vztahy mezi harmonickým napětím a proudem v tab. 2.Kirchhoffovy zákony pro daný obvod:1. Kirchhoffův zákon pro uzel A: I1 – I2 – I3 = 0 2. Kirchhoffův zákon pro smyčku s1: R1 I1 + R2 I2 + jωL I2 + R3 I1 – U0 = 0 2. Kirchhoffův zákon pro smyčku s2: **vzorec 1** 0 j j 1 2 2 2 I3 C R I LI Ing. Lenka Šroubová, Ph.D., Katedra teoretické elektrotechniky, Fakulta elektrotechnická ZČU v Plzni Minulý díl se zabýval elektrickými obvody se stejnosměrným zdrojem v ustáleném sta-vu. Tento díl bude věnován obvodům rovněž v ustáleném stavu, ale takovým, kde napětí zdroje je časově závislé.Obr. 2. Fázory maximálních hodnot proudůI3 I2 I1 Obr. 1. Obvod s harmonickým zdrojem napě-tí v ustáleném stavu R1 A R3 B u0(t)C i2(t)R2 s1 s2 L i1(t)i3(t)