62 ELEKTRO 7/2014 repetitorium Základy teoretické elektrotechniky (2. část)V minulém dílu bylo uvedeno, že se teore-tická elektrotechnika zabývá zejména řeše-ním elektrických obvodů a elektromagnetic-kých polí. Tento díl se bude věnovat elek-trickým obvodům.Elektrický obvod je systém skládající se z prvků (zdrojů, spotřebičů, přenosových prvků) různě mezi sebou vodivě propoje-ných, jimiž mohou protékat elektrické prou-dy. Řeší-li se elektrický obvod, vytvoří se mo-del, u něhož je třeba oprostit se od nepodstat-ných věcí a soustředit se na ty, které jsou pro zkoumaný jev rozhodující. Funkci elektric-kého obvodu lze stanovit na základě znalostí proudů a napětí ve všech jeho částech. Není nutné zjišťovat např. veličiny lokálně charak-terizující elektromagnetické pole.Prvky obvodu se dělí na aktivní a pasivní. Aktivní prvky jsou zdroje, které většinou při-jímají neelektrickou formu energie (tepelnou, světelnou, mechanickou, chemickou) a pře-měňují ji na elektrickou ener-gii, kterou dodávají do další části obvodu. Pasivní prvky elektrickou energii spotřebo-vávají. Mezi základní pasiv-ní prvky patří např. rezistor, jenž je charakterizován para-metrem odpor a který elektric-kou energii přeměňuje např. na tepelnou nebo světelnou.Elektrické obvody jsou zkou-mány v ustáleném stavu (na-stane po dostatečně dlouhé době – ustálení – po připoje-ní zdrojů) nebo v přechodném stavu, který nastává při přechodu z jednoho ustáleného stavu do jiného (při sepnutí či vy-pnutí nebo při poruše).Nejprve bude pojednáno o obvodech v ustáleném stavu. Při řešení obvodů bude zpočátku předpokládáno, že vodiče, které spojují aktivní a pasivní prvky obvodu, jsou ideální, tj. bezeztrátové, že mají nulový od-por. Znamená to, že poměry v obvodu nebu-dou záviset na délce a tvaru vodičů.Zaveďme některé základní pojmy z teo-rie obvodů. Uzel je místo, kde se stýkají dvě nebo více svorek prvků obvodu (na obr. 1 jsou tři uzly A, B, C). Větev je část obvodu mezi dvěma uzly. Smyčka je uzavřená dráha ob-vodu tvořená příslušnou posloupností větví (na obr. 1 jsou označeny smyčky s1, s2, s3).Základem analýzy elektrických obvodů jsou Kirchhoffovy zákony.První Kirchhoffův zákon: Pro libovol-ný uzel v obvodu platí, že součet okamžitých hodnot všech proudů vstupujících do uzlu (obvykle jsou brány jako záporné) a všech proudů vystupujících z uzlu (obvykle jsou uvažovány jako kladné) je roven nule.Druhý Kirchhoffův zákon: Pro libovol-nou orientovanou smyčku v obvodu platí, že součet všech okamžitých hodnot napě-tí na všech větvích tvořících tuto smyčku je roven nule. Většinou jsou napětí chápá-na jako kladná, jestliže proud ve větvi pro-chází v daném okamžiku ve smyslu orien-tace smyčky.Přímou aplikaci Kirchhoffových zákonů si ukažme na příkladu. Měly by být určeny větvové proudy I18, I23, I4, I5, I67 a přísluš-ná větvová napětí v obvodu s konstantním zdrojem napětí, který je na obr. 1, je-li dáno: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 5 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 2 Ω, R7 = 4 Ω, R8 = 4,5 Ω, U0 = 60 V.Nejprve je třeba zjistit větvové proudy I18, I23, I4, I5, I67 pomocí Kirchhoffových zá-konů. Napětí na jednotlivých odporech se určí podle Ohmova zákona, který říká, že elektric-ký proud I protékající rezistorem o hodnotě odporu R je přímo úměrný elektrickému na-pětí U na tomto rezistoru, a platí tedy U = RI.1. Kirchhoffův zákon pro uzel A: I18 – I23 – I4 = 0 1. Kirchhoffův zákon pro uzel C: I5 + I67 – I18 = 0 2. Kirchhoffův zákon pro smyčku s1: R1I18 + R4I4 + R5I5 + R8I18 – U0 = 0 2. Kirchhoffův zákon pro smyčku s2: R2I23 + R3I23 – R4I4 = 0 2. Kirchhoffův zákon pro smyčku s3: R6I67 + R7I67 – R5I5 = 0 Lze sestavit rovnice i pro uzel B a rovni-ce pro jiné smyčky, např. pro vnější smyčku tvořenou větvemi s proudy I18, I23, I67. Tyto další rovnice by byly již lineárně závislé, tzn. byly by lineární kombinací ostatních rovnic. Při hledání jednoznačného řešení je třeba sestavit soustavu lineárně nezávis-lých rovnic, proto se aplikují Kirchhoffovy zákony na nezávislé uzly a nezávislé smyč-ky. Nezávislé uzly jsou vždy všechny kro-mě jednoho. Nezávislé smyčky se získají tak, že se propojí všechny uzly nezbytný-mi větvemi, takže nevznikne žádná smyč-ka (např. na obr. 1 by byly propojeny uzly A, C větví s proudem I18 a uzly A, B vět-ví s proudem I4). Postupně jsou přidává-ny další větve, které vytvoří smyčky (větev s proudem I5 smyčku s1, větev s proudem I23 smyčku s2 a větev s proudem I67 smyčku s3). Každá nezávislá smyčka tedy obsahuje jed-nu větev, jež není součástí žádné další smyč-ky. Možné je i zvolit jiný postup a sestavit jiné rovnice.Je tedy řešena soustava pěti rovnic o pěti neznámých větvových proudech. Soustavu lze upravit a zapsat maticově podle (1).0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 67 5 4 23 18 5 6 7 2 3 4 1 8 4 5 U I I I I I R R R R R R R R R R (1)Po dosazení za jednotlivé odpory a hod-notu napětí se získá řešení soustavy rovnic:I18 = 6 A I23 = 3 A I4 = 3 A I5 = 4 A I67 = 2 A Napětí na jednotlivých větvích obvodu, tj. napětí na částech obvodu mezi dvěma uzly, se určí využitím Ohmova zákona a popř. druhé-ho Kirchhoffova zákona takto:UAB = R4I4 = 5 · 3 = 15 V nebo jiný způsob:UAB = R2I23 + R3I23 = 2 · 3 + 3 · 3 = 15 V UBC = R5I5 = 3 · 4 = 12 V nebo jiný způsob:UBC = R6I6 + R7I67 = 2 · 2 + 4 · 2 = 12 V UAC = R4I4 + R5I5 = 5 · 3 + 3 · 4 = 27 V nebo jiný způsob:UAC = –R1I18 + U0 – R8I18 = –1 · 6 + 60 – 4,5 · 6 == 27 V V současné době lze soustavu lineárních algebraických rovnic řešit pomocí výpočetní techniky a existující spousty softwaru, kte-ré toto umožňují. Zpravidla se soustava za-dává právě zapsaná v maticovém tvaru, tzn. zadá se matice činitelů soustavy (na levé stra-ně) a jednosloupcová matice (neboli vektor) pravých stran.(pokračování)Ing. Lenka Šroubová, Ph.D., Katedra teoretické elektrotechniky, Fakulta elektrotechnická ZČU v Plzni Obr. 1. Zavedení pojmů pro rozbor Kirchhoffových zákonůs1 s2 s3