62 ELEKTRO 11/2012 repetitorium Řemeslo je řemeslo … (2. část)Kirchhoffovy zákony K dalším zcela zásadním pravidlům elektro-techniky patří první dva Kirchhoffovy zákony, a to I. Kirchhoffův zákon uzlu a II. Kirchhoffův zákon smyčky. Tyto dva Kirchhoffovy zákony se spolu s Ohmovým zákonem zásadním způ-sobem uplatňují při řešení složitějších elek-trických obvodů. Německý fyzik Gustav-Robert Kirchhoff se narodil roku 1824 v Königsbergu ve Vý-chodním Prusku (Královec, nyní Kalinin-grad). Podle rodinné tradice měl jeho nej-nadanější syn Gustav pokračovat ve službě pruskému státu. Mladého Gustava Roberta Kirchhoffa však při studiu na místní univerzi-tě zásadním způsobem ovlivňoval jeho profe-sor Franz Ernst Neumann. Profesor Neumann je také velmi úzce spojen s objevem, který vešel později ve všeobecnou známost jako Kirchhoffovy zákony. V rámci svého fyzi-kálně-matematického semináře zadal tehdy Neumann teprve jednadvacetiletému studen-tu Kirchhoffovi seminární práci, jejímž cílem bylo prozkoumat rozložení proudové hustoty v kruhovém kotouči, jestliže přívod a odvod proudu jsou umístěny na jeho obvodu. K ře-šení úlohy použil mladý student v té době již dobře propracovanou teorii potenciálu. Teo-reticky stanovený průběh ekvipotenciál v kru-hovém kotouči ověřoval experimentálně po-mocí sondy tvořené tenkým drátem, zapojené do tehdy již známého Wheatstoneova můstku. V dodatku své seminární práce O průchodu elektrického proudu deskou, zejména kotou-čem (1845), odvodil podmínku rovnováhy můstku a formuloval vztahy, které jsou nyní označovány jako I. a II. Kirchhoffův zákon. I. Kirchhoffův zákon: Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule.n k k I 1 0 n k k U 1 0 Jednotlivým proudům je třeba přiřadit znaménka, tedy např. proudům do uzlu při-cházejícím kladná a z uzlu vycházejícím zá-porná. V tomto případě lze podle obr. 1 psát:I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 II. Kirchhoffův zákon: Algebraický součet všech svorkových na-pětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebi-čích se v uzavřené smyčce rovná nule.n k k I 1 0 n k k U 1 0 Jednotlivým napětím je třeba přiřadit smě-rové šipky, podle kterých se budou tato napětí sčítat, tedy např. u zdrojů se volí šipka ve smě-ru spádu napětí – od kladné svorky k záporné, u spotřebičů (rezistorů) se volí šipka ve směru procházejícího proudu. Za těchto podmínek lze podle obr. 2 psát tuto rovnici jako:IR1 + IR2 + IR3 – U0 = 0 nebo ji vyjádřit v úbytcích napětí na jednot-livých rezistorech:DU1 + DU2 + DU3 – U0 = 0 Kirchhoff svým víceméně okrajovým do-datkem k seminární práci založil významné od-větví nauky o elektřině a magnetismu, novou kapitolu rodící se vědecké disciplíny – elek-trotechniky. K využití Kirchhoffových záko-nů k systematickému rozvíjení nového oboru elektrotechniky – teorie elektrických a magne-tických obvodů – došlo teprve s výstavbou tele-komunikačních soustav a elektroenergetických zařízení koncem 19. století, a především v prů-běhu 20. století. S Mirkovo okénko z praxe Složitější elektrické ob-vody se nazývají elektrické sítě. Uzel sítě je místo, kde se vodivě stýkají alespoň tři vodiče. Vodivé spojení sousedních uzlů se nazývá větev.Při řešení sítí jsou většinou známa napě-tí zdrojů a odpory rezistorů. Jednotlivými větvemi procházejí proudy, které obvykle hledáme. Současně také většinou hledáme i napětí rezistorů.První Kirchhoffův zákon (I. KZ) je for-mulován pro uzel elektrické sítě a je důsled-kem zákona zachování elektrického náboje neboli zákona zachování energie, tedy čás-tice s nábojem nemohou v uzlu vznikat ani zanikat. Proud, který do uzlu přiteče, musí z něho i vytéci.Platí tedy: Algebraický součet proudů v uzlu je nulový, stýká-li se v uzlu n-vět-ví, pak platí zde uvedený vztah pro I. KZ.Druhý Kirchhoffův zákon (II. KZ) je for-mulován pro jednoduchou smyčku elektric-ké sítě. Tento zákon zjednodušeně říká, že celkový součet změn elektrického potenciá-lu v uzavřené smyčce je nulový. Jinými slo-vy, algebraický součet úbytků napětí na re-zistorech je v uzavřené smyčce stejný jako součet elektromotorických (vnitřních) napě-tí zdrojů, nachází-li se ve smyčce n rezisto-rů a m zdrojů. Pak platí zde uvedený vztah pro II. KZ. Pokud ovšem uvažujeme i vnitř-ní odpory zdrojů napětí, přerozdělí se celko-vé napětí zdrojů ve smyčce i na tyto rezis-tory. V podstatě se dá říci, že napětí, které do smyčky obvodu dodají všechny zdroje napětí, se ve smyčce přerozdělí na všechny rezistory, které jsou v této smyčce zapojeny.Postup při praktickém řešení elektric-kých sítí s použitím Kirchhoffových záko-nů by mohl být tento:– vyznačíme a označíme jednotlivé uzly,– libovolně zvolíme označení a směr prou-dů v jednotlivých větvích,– libovolně zvolíme a vyznačíme směr po-stupu v jednotlivých větvích,– zapíšeme rovnici pro I. KZ (proud, který do uzlu vtéká, má kladné znaménko, proud, který vytéká, má znaménko záporné),– zapíšeme rovnici pro II. KZ (máme-li směr proudu v daném rezistoru totož-ný se směrem postupu, má úbytek napě-tí na tomto rezistoru kladné znaménko; v opačném případě je znaménko pocho-pitelně záporné). Pracovat s Kirchhoffovými zákony by měli především projektanti, resp. projektan-ti sítí, tedy energetici. U projektu vše začí-ná a ve své podstatě i končí spolu s revizí.Miroslav Šnobl, revizní technik, člen rady Sekce elektrotechniků Středočeského kraje www.snobl-frolik.wz.cz Obr. 1. Zjedno-dušené schéma k principu uzlu podle I. Kirchhof-fova zákona I1 I2 I3 I4 I5 Obr. 2. Zjednodušené schéma k principu smyč-ky podle II. Kirchhoffova zákona R1I R2I U0 R1 R2 R3 R3I G I